Šiame straipsnelyje panagrinėsime paprastojo anuiteto porūšius:
a) įprastinį anuitetą;
b) išankstinį anuitetą;
c) atidėtą anuitetą;
d) viso gyvenimo anuitetą.
Anuitetas vadinamas įprastiniu, jei mokėjimai atliekami perskaičiavimo periodo pabaigoje.
Nustatysime tokio anuiteto būsimąją vertę.
perrašome:
Anuiteto būsimoji vertė:
Atlikdami analogiškus veiksmus kaip ir įprastinio anuiteto atveju gauname:
Anuitetas – tai mokėjimų seka, kai laiko intervalai tarp gretimų mokėjimų yra pastovūs. Jei mokėjimų seka begalinė, tai anuitetą vadinsime begaliniu arba viso gyvenimo.
Laikotarpis tarp gretimų mokėjimų vadinamas mokėjimo periodu.
Anuitetai būna:
1) paprastas anuitetas – mokėjimo periodas sutampa su palūkanų perskaičiavimo periodu.
2) kompleksinis anuitetas – mokėjimo periodas nesutampa su palūkanų perskaičiavimo periodu.
Šios dvi rūšys dar skirstomos į porūšius:
a) įprastinis anuitetas
Anuitetą vadinsime įprastiniu, jei mokėjimai atliekami palūkanų perskaičiavimo periodo pabaigoje.
b) išankstinis anuitetas
Anuitetą vadinsime išankstiniu, jei mokėjimai atliekami palūkanų perskaičiavimo periodo pradžioje.
c) atidėtas anuitetas (gali būti išankstinis arba įprastinis)
Anuitetą vadinsime atidėtu, jei periodiniai mokėjimai pradedami mokėti praėjus daugiau nei vienam palūkanų perskaičiavimo periodui nuo sutarties pasirašymo.
d) viso gyvenimo anuitetas (gali būti išankstinis arba įprastinis)
Anuitetą vadinsime viso gyvenimo, kai įmokų mokėjimo skaičius yra begalinis. Tokio anuiteto būsimosios vertės nustatyti negalima.
Kol kas tiek apie anuitetų rūšis. Kitame straipsnyje nuodugniau apžvelgsime kiekvieną anuiteto tipą ir išvesime formules būsimosioms bei dabartinėms anuiteto vertėms skaičiuoti.
Šiuolaikinė išvestinių finansinių priemonių įkainojimo technika remiasi sudėtingiausiais matematiniais metodais, taikomais finansuose. O pritaikymo sričių yra labai įvairių – pavyzdžiui, panagrinėkime opcionus bei kam juose reikia taikyti įvairius matematinius metodus.
Pasirinkimo sandorio (opciono) sąvoka turi gilias istorines šaknis. Antikos laikais romėnai, graikai ir finikiečiai prekiavo išvykstančių iš vietinių uostų laivų krovinių opcionais. Finansinių aktyvų atveju opcionas bendruoju atveju apibrėžiamas kaip sandoris tarp dviejų šalių, kurių viena turi teisę, bet ne įsipareigojimą pirkti ( pirkimo opcionas) ar parduoti ( pardavimo opcionas) pagrindinį aktyvą, pvz. akcijas tam tikru laiku už iš anksto nustatytą kainą. Tuo tarpu antroji pusė pareikalavus pirmajai privalo įvykdyti sandorio sąlygas. Opciono pirkėjas turėdamas teisę be įsipareigojimo įgyja tam tikrą vertę, todėl opciono turėtojas turi sumokėti už šią teisę kažką pirkti ar parduoti. Kaina, kuri sumokama už opcioną vadinama premija. Jei opciono pabaigoje akcijos kaina pakyla aukščiau sutartos kainos, tai pirkimo opciono savininkas perka akciją už žemesnę kainą ir ją pardavęs rinkoje už aukštesnę kainą uždirba pelno. Jei akcijos kaina nepakyla aukščiau sutartos kainos, tai opcionas nerealizuojamas ir opciono turėtojas patiria nuostolį, lygų opciono pirkimo kainai. Matematinė problema yra teisingai nustatyti opciono kainą, kuria būtų patenkintos abi sandorio pusės ir tuo pačiu nebūtų pažeista finansų rinkos pusiausvyra. Svarbiausias uždavinys yra prognozuoti pagrindinio aktyvo atsitiktinės kainos dinamiką arba nustatyti aktyvo kainos skirstinį opciono realizavimo metu. Tam yra kuriami matematiniai modeliai.
Mintis taikyti matematinius metodus prognozuojant ateitį jau kilo dviems XVII a. prancūzų matematikams Blaise Pascal ir Pierre De Fermat (žinomas kaip paskutinės Ferma teoremos autorius). Šie mokslininkai susirašinėdami 1654 m. apskaičiavo žaidimo, metant du lošimo kauliukus fiksuotą skaičių kartų, visų galimų baigčių tikimybes.
Tarkime Jonas ir Petras žaidžia azartinį žaidimą, kuris iš jų laimės penkis kartus metant du lošimo kauliukus? Po trijų metimų Jonas pirmauja 2:1. Kokia teisingą sumą jus turite statyti lažinantis, kad laimės Petras, jei aš moku 100Lt jam laimėjus? Pascal ir Fermat parodė kaip rasti teisingą atsakymą. Pagal juos tikimybė, kad Petras laimės lygi 0,25. Šiuo atveju, jei aš sutinku, kad statytumėte 25Lt , tai mano siūloma suma yra visai teisingai įvertinta. Statoma suma mažesnė už 25lt yra naudingesnė jums, o suma didesnė negu 25Lt yra palankesnė man. Matematiniai modeliai nepanaikina rizikos, o tik teisingai nustato kainą su kuria abi besilažinančios pusės yra vienodose sąlygose.
Kiekviename meteorologinio lauko taške analizuojamo parametro dydis xi įgauna vieną ar kitą
reikšmę ir iškyla klausimas kiek ji yra artima gretimų taškų reikšmėms. Praktikoje tai dažniausiai
įvertinama naudojant erdvines struktūrines ir koreliacines funkcijas.
Paprasčiausia charakteristika yra struktūrine funkcija, kuri taikoma vienalyčių ir izotropinių
laukų analizei ir išreiškiama tokia lygtimi:
čia l – atstumas tarp dviejų analizuojamų taškų. Kai l=0 struktūrinė funkcija lygi nuliui ir didėja
augant atstumui tarp taškų. Kai l=∞, tai bx(∞)=2s²x.
Iš struktūrinės funkcijos galima pereiti į koreliacinę funkciją:
Erdvinė koreliacinė funkcija maksimalią reikšmę įgauna kai l=0 ir didėjant atstumui mažėja.
Kai atstumas tarp matavimo punktų yra ypač didelis, koreliacinio koeficiento reikšmė artėja prie 0, t.y
ryšys tarp matavimo rezultatų išnyksta.
Erdvinė koreliacinė funkcijos skaičiavimo algoritmas yra toks:
1. Vidutinių reikšmių ir vidutinių kvadratinių nuokrypių visuose matavimo taškuose
nustatymas;
2. Koreliacijos koeficientų tarp bet kurių dviejų lauko taškų nustatymas (t.y., koreliacinės
matricos sudarymas);
3. Koreliacijos koeficientų vidurkinimas pagal atstumo gradacijas.
4. Regresijos kreivės r=f(l) išbrėžimas ir jos analitinės išraiškos nustatymas.
Panašumas – subjektyvus dalykas. Todėl net ir statistikoje, vertinant panašumą, labai daug
priklauso nuo matuojamų požymių tipo, nuo matavimo skalės ir nuo pasirinkto panašumo mato.
Dažniausiai naudojami panašumo matai yra trys:
1. Metriniai atstumo matai;
2. Koreliacijos koeficientai;
3. Asociatyvumo koeficientai.
Kai objektus charakterizuojantys požymiai matuojami pagal intervalų arba santykių skalę
(taip dažniausiai pasitaiko meteorologijoje) gali būti taikomi metriniai atstumo matai arba
koreliacijos koeficientai. Juos ir panagrinėsime plačiau.
Metriniai atstumo matai. Šiuos matus tiksliau būtų vadinti skirtingumo matais – kuo didesnė
reikšmė, tuo objektai mažiau panašūs.
Plačiausiai naudojami atstumai yra šie:
Euklido:
Pagrindinis metrinių atstumo matų trūkumas – nevienoda skirtingai matuojamų požymių įtaka.
Kintamieji, kurių sklaidos charakteristikos įgyja dideles reikšmes, gali nustelbti mažai įvairuojančių
kintamųjų įtaką. Pavyzdžiui, jei analizuojami požymiai yra kritulių kiekis ir oro temperatūra, tai be
abejo kritulių kiekio įtaka, dėl didesnės parametro sklaidos, bus žymiai didesnė. Todėl užuot
klasterizavus pačius kintamuosius, būtina naudoti jų standartizuotas reikšmes.
Koreliacijos koeficientai. Jau žinome, kad koreliacijos koeficientai naudojami kaip kintamųjų
panašumo matai. Kartais jais remiantis vertinamas objektų panašumas. Jei duomenys yra kiekybiniai,
objektų panašumui nustatyti galima naudoti elementarų tiesinės koreliacijos koeficientą. Jis
skaičiuojamas taip:
Čia: xi yra X objekto i-ojo požymio reikšmė, yj – Y objekto i-ojo požymio reikšmė, m –
matuojamų požymių skaičius.
Vis dėl to šis metodas neturi aiškios statistinė prasmės. Jei koreliacijos koeficientas –0,25, ar
galima teigti, kad objektai labai skiriasi? Be to jei vieno iš objektų kintamųjų reikšmės yra vienodos
(pvz., 5,5,5,5,5,), r skaičiuoti negalima.
Faktorių matrica aprašo faktorių ir atskirų kintamųjų priklausomybę. Iškyla klausimas, kaip
nustatyti, kokie kintamieji nusako faktorių Fj? Šios problemos sprendimo idėja gan paprasta – jeigu
faktorinės analizės modelyje λij yra mažas skaičius, tai kintamasis Xi su faktoriumi Fj nesusijęs.
Peržiūrime kiekvieno faktoriaus svorių įverčius ir jis laikomas pakankamai dideliu jei jis didesnis arba
lygus 0,4.
Kintamieji, kurių svoriai yra teigiami ir neigiami yra vienodai svarbūs. Teigiamas svoris rodo,
kad kintamasis su faktoriumi koreliuoja teigiamai (arba atvirkščiai) ir tai neretai palengvina faktorių
interpretaciją.
Dažnai prasminius faktorius yra sunku identifikuoti, kadangi dažniausiai vyrauja pirmasis
faktorius, be to, net kelių to paties kintamojo faktorių svoriai gali viršyti 0,4, t.t., tas pats kintamasis
gali būti susijęs su keliais faktoriais. Siekiant išspręsti šią problemą vykdomas faktorių sukimas.
Faktorių sukimas – tai faktorių matricos transformavimas suteikiant jai lengviau interpretuojamą
pavidalą.
Sukimo tikslas – supaprastinti faktorių svorių matricos struktūrą, t.y. siekiama, kad tik kelių
kintamųjų visų faktorių svoriai būtų nenuliniai. Tai palengvina faktorius interpretuoti. Be to, siekiama,
67
kad kiekvienas kintamasis turėtų tik kelis nenulinius faktorių svorius (idealu, jei vieną). Tada lengviau
faktorius diferencijuoti – atskirti juos tarpusavyje.
Terminas “faktorių sukimas” atsirado dėl aiškios geometrinės šios procedūros interpretacijos.
Tarkime yra du faktoriai F1 ir F2. Tuomet juo galime įsivaizduoti kaip koordinačių ašis, o
kintamuosius X1, …., Xk atvaizduti plokštumos taškais, kurių koordinatės yra (λ11, λ12),…,(λk1, λk2).
Faktoriai paaiškina tuos kintamuosius, kurių “taškai” yra arčiau faktorių atitinkančios ašies. Pasukdami
koordinačių galime sumažinti kintamųjų, kurių “taškai” arti abiejų ašių, skaičių. Geometrinė sukimo
interpretacija išlieka ir kai faktorių daugiau nei du (šiuo atveju naudojama m-matė koordinačių
sistema). Populiariausias iš sukimų – VARIMAX.
Sukimas nekeičia sprendinio savybių, t.y. bendrumai ir dispersijos paaiškinimo procentas
nesikeičia. Tačiau kiekvieno faktoriaus indėlis kitoks – kokį procentą bendrosios dispersijos paaiškina
konkretus faktorius. Paprastai po sukimo keičiasi ir pačių faktorių interpretacija.
Kaip interpretuojami faktoriai? Yra vertinama bendrųjų faktorių svoriai po sukimo. Žiūrima
kaip atskiri faktoriai koreliuoja su tam tikrais kintamaisiais. Įvardijant bendruosius faktorius
subjektyvumo išvengti gan sunku. Tai priklauso nuo naudojančio faktorinę analizę gebėjimo suvokti
gautų rezultatų kilmę.
Vienas dažniausiai naudojamų faktorių išskyrimo metodų vadinamas pagrindinių
komponenčių analize. Naudojantis koreliacine matrica galima apskaičiuoti faktorių svorių, bendrumų
ir specifiškumų įverčius bei rasti bendruosius faktorius. Tai atliekama šiuolaikiniais statistiniais
paketais SPSS, Statistica ir pan.
Svarbiausias analizės uždavinys nustatyti, kokia bendrosios dispersijos dalis yra paaiškinama
vienos ar kitos komponentės. Pirmoji pagrindinė komponentė yra ta, kuri paaiškina didžiausią
bendrosios dispersijos dalį, antroji mažesnę ir taip toliau mažėjimo tvarka. Bendroji dispersija yra lygi
pradinių kintamųjų dispersijų sumai. Jei analizei naudotume standartizuotas reikšmes, tai normalaus
skirstinio atveju atskirų kintamųjų dispersija būtų lygi 1, o bendroji dispersija kintamųjų skaičiui.
Bendroji kintamųjų dispersija suteikia informacijos apie jų reikšmių sklaidą, t.y. kuo daugiau
bendrosios kintamųjų dispersijos paaiškina pagrindinė komponentė, tuo daugiau informacijos apie
kintamųjų elgesį joje išlieka. Galima sakyti, kad paaiškintas bendrosios dispersijos procentas lemia
pagrindinės komponentės svarbą. Pavyzdžiui, jei komponentė paaiškina 95% bendrosios dispersijos, ji
yra labai svarbi ir dažniausiai interpretuojama taip: vietoj (daugelio) pradinių kintamųjų X1, …, Xk
palikdami šią (vieną) pagrindinę komponentę, išlaikysime 95% informacijos apie pradinių kintamųjų
elgesį (įgyjamų reikšmių sklaidą).
Dažniausiai išskiriant faktorius, faktorių skaičius yra nustatomas iš anksto. Jis dažniausiai būna
numanomas iš anksto, suprantant analizuojamo proceso esmę. Kartais faktorių skaičius parenkamas
taip, kad būtų paaiškinta ne mažiau, kaip iš anksto pasirinktas procentas bendrosios kintamųjų
dispersijos (pavyzdžiui, nemažiau nei 75% visos dispersijos).
Ar kintamasis yra paaiškinamas bendrųjų faktorių, nustatoma pagal pradinių kintamųjų
variacijų dalies, paaiškinamos bendrųjų faktorių, dydį. Jei šis dydis yra didesnis nei 0,20, tai galima
teigti, kad pagrindinėse atrinktosiose komponentėse išliko pakankamai daug informacijos apie
kintamąjį. Vėliau, nustačius faktorių svorius kintamiesiems, mums tenka identifikuoti bendruosius
faktorius.
Dalinė koreliacija atskleidžia Y priklausomybę nuo vieno kintamojo, kai
yra eliminuojama kitų kintamųjų įtaka. Tiesinę priklausomybę tarp kintamųjų matuoja koreliacijos
koeficientas, tačiau jis gali būti didelis vien todėl, kad abu kintamieji priklauso nuo kokių nors kitų
kintamųjų. Dalinės koreliacijos koeficientas šių kintamųjų įtakos neatskleidžia. Kaip ir visi koreliacijos
koeficientai, jis nenusako priežastinės priklausomybės. Priežastinė priklausomybė paprastai nustatoma
remiantis tiriamos srities teorinėmis žiniomis arba (ir), specialiai parengtų eksperimentu, o dalinė
koreliacija tėra tik įrankis.
Kintamieji, į kurių įtaką atsižvelgiama vadinami kontroliuojamaisiais kintamaisiais.
Kontroliuojamųjų kintamųjų skaičius vadinamas dalinės koreliacijos eile. Pirmosios eilės dalinės
koreliacijos gaunamos kai yra vienas kontroliuojamas kintamasis, antrosios, kai du ir t.t. Pavyzdžiui,
ry1.2 yra pirmos eilės dalinė Y ir X1 koreliacija, kai kontroliuojamas kintamasis X2; ry2.134 – trečiosios
eilės dalinė Y ir X2 koreliacija, kai kontroliuojamieji kintamieji X1, X3, X4 ir pan.
Dviejų kintamųjų atvejų dalines koreliacijas galima išreikšti empirinėmis koreliacijomis:
Taikydami faktorinę analizę, ieškome stebimų kintamųjų panašumų. Suprantama, kad jei
kintamieji nekoreliuoti, tai ir panašumų nėra. Tokiems duomenims faktorinė analizė nėra taikoma.
Taigi, visų pirma turime įsitikinti, ar stebimi kintamieji tarpusavyje koreliuoja. Pradiniai faktorinės
analizės duomenys – stebėjimų koreliacijų (arba kovariacijų) matrica. Iš jos pavidalo matyti, kurie
kintamieji yra nepriklausomi nuo likusiųjų. Šie kintamieji negrupuojami, t.y. faktiškai jie sudaro
atskirus faktorius. Todėl juos iš faktorinės analizės pradinių kintamųjų sąrašo verta pašalinti.
Ar koreliacijos yra statistiškai reikšmingos ir ar jos gali būti taikomos faktorinei analizei padeda
nustatyti visa eilė kriterijų: Bartleto sferiškumo kriterijus, Kaizerio-Mejerio-Olkino (KMO) matas
ir kt.
Ar iš viso tarp stebėjimo duomenų yra statistiškai reikšmingai koreliuojančių, padeda nustatyti
Bartleto sferiškumo kriterijus (p). Juo naudojantis, tikrinama hipotezė, kad koreliacijų matrica yra
vienetinė, t.y. visi stebimi kintamieji yra nekoreliuoti. Vadinasi jei turimiems duomenims hipotezė
priimama (p≥α, kur α – pasirinktas statistinio reikšmingumo lygmuo), faktorinė analizė neturi prasmės.
KMO – empirinių koreliacijos koeficientų didumų ir dalinių koreliacijos koeficientų didumų
palyginimo matas. Jis skaičiuojamas pagal formulę:
čia 
KMO reikšmė maža, tai nagrinėjamų kintamųjų faktorinė analizė nerezultatyvi. Tai rodo, kad
kintamųjų porų koreliacija nėra paaiškinama kitais kintamaisiais. Apytikslė KMO gradacija:
KMO>0,9 – faktorinė analizė puikiai tinka;
0,9>KMO>0,8 – gerai tinka;
0,8>KMO>0,7 – tinka patenkinamai;
0,7>KMO>0,6 – tinka pakenčiamai;
0,6>KMO>0,5 – tinka blogai;
KMO<0,5 – netinka.
Jeigu tarp dviejų laiko sekų egzistuoja koreliacinis ryšys tai dažnai kyla klausimas, kokio
dažnio (žemo ar aukšto) komponentai sekose siejasi. Gali būti taip, kad dvi laiko sekos nekoreliuoja
tarpusavyje kadangi žemo dažnio sudedamosios koreliuoja neigiamai, o aukšto dažnio teigiamai.
Pavyzdžiui šiltuoju metų laikotarpiu oro temperatūros ir kritulių kiekio sezoninės eigos pobūdis
sutampa: didėjant temperatūrai didėja ir kritulių kiekis (žemo dažnio svyravimai). Tačiau jei
analizuotume aukšto dažnio fluktuacijas pamatytume, jog dienos, kada iškrenta gausus kritulių kiekis
yra vėsesnės nei aplinkinės.
Kospektras parodo įvairaus dažnio svyravimų indėlį į kovariaciją tarp dviejų sekų. Tam, kad
apskaičiuoti kospektrą, visų pirma vidurkinama kovariacija esant vėlavimui l ir –l. T. y , nustatomas
kovariacijos koeficientas, kai poslinkis tarp sekų (sakykime x seka yra paslinkta per 3 narius į apačią, o
y seka išliko vietoje) teigiamas bei kai poslinkis yra neigiamas (x seka yra paslinkta per 3 narius į
viršų, o y seka išliko vietoje) ir apskaičiuojamas koeficientų vidurkis. Vėliau sudaroma funkcija,
kurioje nurodoma kovariacijos koeficientų priklausomybė nuo l. Toliau atliekama šios sekos harmoninė
analizė. Tokiu būdu vykdomas procesas atitinka spektrinę analizę tik aukoreliacijos koeficientų vietoje,
sinusų ir kosinusų pagalba analizuojama seka sudaryta iš kovariacijos koeficientų vidurkio. Kospektras
parodo sinchroniškus ryšius tarp dviejų laiko sekų.
Audriaus Blog'as 